Combinaciones del cubo de Rubik: de dónde sale el número y cuántos movimientos bastan

De dónde sale el 43.252.003.274.489.856.000

Cada mezcla del 3×3 es una posición, y el equipo de cube20.org las cuenta todas: 43.252.003.274.489.856.000.

El objeto en sí está descrito en las patentes. La estadounidense US 4.378.116 trata de otro juguete, pero cita como antecedente la húngara HU-PS No. 170 062 del mismo solicitante: un juguete lógico espacial de 27 sólidos que forman un cubo armado. La historia del inventor está en nuestra nota sobre Ernő Rubik.

Para contar posiciones importan dos tipos de pieza: las esquinas y las aristas. Si sacás todas y las volvés a poner donde quieras, cada esquina puede ir en cualquier lugar de esquina y quedar girada de tres maneras, y cada arista puede ir en cualquier lugar de arista y quedar derecha o volteada. Al multiplicar todas esas posibilidades sale el total de estados concebibles (los que podés fabricar con un destornillador y algo de paciencia).

Pero girando caras se llega a una parte de ese total.

Por qué solo se llega a 1 de cada 12

Ryan Heise lo explica en sus leyes del cubo: un cubo armado con las piezas puestas al azar tiene 1 en 12 chances de poder resolverse con movimientos legales. Las responsables son tres restricciones que ningún giro rompe.

• Ley de permutaciones: solo la mitad de los ordenamientos de piezas (sin mirar cómo están giradas) es alcanzable. Un cubo con dos aristas intercambiadas y todo lo demás en su lugar no tiene solución.
• Ley de orientación de aristas: cada movimiento voltea un número par de aristas, así que solo aparece la mitad de las orientaciones posibles.
• Ley de orientación de esquinas: la suma de los giros de todas las esquinas es siempre divisible por 3, y eso deja un tercio de las combinaciones.

Un medio por un medio por un tercio da 1/12, según Heise. Y eso explica una escena conocida: alguien abre el cubo para lubricarlo, lo rearma con una esquina girada y ya no hay secuencia que lo arregle. Antes de sacar la primera pieza del tuyo, mirá la guía para desarmar y armar un cubo.

Qué tiene que ver la teoría de grupos

Para un matemático, los giros del cubo forman un grupo: se pueden encadenar, cada uno tiene otro que lo deshace y no hacer nada también es un elemento del grupo (la identidad). En ese lenguaje, las 43.252.003.274.489.856.000 posiciones son los elementos del grupo. Dentro de él hay grupos más chicos, los subgrupos, que aparecen cuando restringís qué giros están permitidos.

Morwen B. Thistlethwaite, matemático, usó esa idea en 1981. Su método, según la carta que reproduce Jaap's Puzzle Page, tiene cuatro etapas con tablas de consulta grandes: cada etapa lleva el cubo a un subgrupo más chico, donde alcanzan menos tipos de giro, hasta llegar al cubo armado.

Los índices de esa cadena de subgrupos (cuántas veces más grande es cada uno que el siguiente) son 2.048, 1.082.565, 29.400 y 663.552. Para nosotros, lo más lindo de esta historia está en esos cuatro números: 2.048 por 1.082.565 da 2.217.093.120, exactamente la cantidad de conjuntos en que el equipo de cube20.org partió las posiciones para su prueba, y 29.400 por 663.552 da 19.508.428.800, las posiciones de cada conjunto. Multiplicados, los dos resultados vuelven a dar el total del cubo.

De 52 a 20: cómo se acotó el número de Dios

Se llama número de Dios a la menor cantidad de movimientos que alcanza para resolver cualquier posición. En la métrica de media vuelta, cualquier giro de cualquier cara vale un movimiento, según cube20.org. Ahí también se cuenta que la primera cota superior andaba por los 80 movimientos, sacada de los folletos de solución tempranos, y que hacia 1980 ya se sabía que en algunos casos hacían falta al menos 18.

Thistlethwaite bajó el techo a 52 en 1981, según Ruwix, y en su carta conjeturaba que con ayuda de computadora bastarían 45. En 1991, según Jaap's Puzzle Page, Hans Kloosterman lo redujo a 42. Michael Reid, a partir del método de Thistlethwaite, lo llevó a 29.

El superflip y las 210 horas de Reid

El piso tardó más en moverse. El 18 de enero de 1995, Reid escribió en la lista Cube-Lovers que el superflip (todas las aristas en su lugar, todas volteadas) requiere 20 giros de cara, por encima de la cota de 18 que daba un argumento de conteo simple. La búsqueda le llevó unas 210 horas de CPU.

Cube20.org lo resume así: hicieron falta quince años desde la presentación del cubo para encontrar la primera posición que exige 20. Los métodos que una persona puede memorizar, aclara el mismo sitio, suelen pedir más de cuarenta movimientos (si las letras de esas secuencias te resultan raras, pasá por la guía de notación).

De 25 a 20, con computadoras de Google

El 24 de marzo de 2008, Tomas Rokicki subió a arXiv «Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube». Con un programa que encontraba soluciones de 20 movimientos o menos a más de 16 millones de posiciones por segundo, mostró que ninguna posición requiere 26. Hasta ese momento, según el resumen del paper, se sabía que ninguna requería 27 o más.

La prueba final llegó en julio de 2010, según Ruwix, y la firmaron Rokicki, Herbert Kociemba (profesor de matemática de Darmstadt, Alemania), Morley Davidson y Dethridge. Partieron las posiciones en 2.217.093.120 conjuntos de 19.508.428.800 posiciones cada uno, y con simetría y cobertura de conjuntos bajaron a 55.882.296 los que había que resolver. La simetría pesa: hay 24 formas de orientar el cubo en el espacio y otro factor de dos por el espejo, para una reducción de un factor de unos 48.

Su programa resolvía un conjunto en unos 20 segundos. El total fueron unos 35 años de CPU donados por Google, que en una buena PC de escritorio (Intel Nehalem de cuatro núcleos a 2,8 GHz) habrían sido 1,1 mil millones de segundos.

Veinte, en el peor caso.

¿Y cuántas posiciones están a esa distancia máxima? Cube20.org encontró unos doce millones y estima que son menos de una en mil millones, aunque probablemente más de cien millones. El recorrido completo de la búsqueda está en nuestra nota sobre el número de Dios.

Contando cuartos de vuelta: 26

Si un medio giro cuenta como dos movimientos, los números cambian. En esa métrica, cube20.org informa que toda posición se resuelve en 26 movimientos o menos, y Ruwix fecha la prueba en 2014. La firmaron Rokicki y Morley Davidson, matemático de Kent State University, con unos 29 años de CPU en el Ohio Supercomputing Center.

La posición que exige los 26 es el superflip compuesto con fourspot. A distancia 24 hay quizás 150.000 posiciones, a distancia 25 se conocen solo dos (más sus rotaciones) y a distancia 26, una sola (y sus dos rotaciones). Hacia 1980 el piso en esta métrica era 19, y Dan Hoey fue el primero en mostrar posiciones que requieren 21.

El 2×2 tiene su propia versión del problema: con 3.674.160 posiciones, Ruwix da un número de Dios de 11 movimientos en media vuelta y de 14 en cuarto de vuelta.

Del número de Dios a la mesa de competencia

En la prueba de mínimos movimientos (FMC), Sebastiano Tronto (Italia) encontró en 2019, en competencia oficial, una solución de 16 movimientos, según Ruwix. Porque el 20 es el peor caso, una mezcla puntual puede pedir bastante menos.

Contra reloj, el récord mundial de 3×3 single es de Xuanyi Geng (China), con 2,51 segundos, según el export oficial de la WCA del 2 de noviembre de 2026. El récord argentino es de Theo Goluboff, con 4,03 segundos. La lista completa está en récords vigentes y la posición de cada cubero argentino, en el ranking argentino de 3×3.

Preguntas frecuentes

¿Cuántas combinaciones tiene el cubo de Rubik?

El 3×3 tiene 43.252.003.274.489.856.000 posiciones alcanzables, según cube20.org. Es la cantidad de estados a los que se llega girando caras, sin desarmar el cubo. Si se cuentan también los que solo salen desarmándolo y rearmándolo al azar, el total es 12 veces mayor.

¿Por qué un cubo rearmado a veces no tiene solución?

Según Ryan Heise, un cubo armado con las piezas al azar tiene 1 en 12 chances de poder resolverse. Solo la mitad de las permutaciones, la mitad de las orientaciones de aristas y un tercio de las de esquinas se alcanzan con movimientos legales: 1/2 por 1/2 por 1/3.

¿Cuántos movimientos hacen falta para resolver cualquier mezcla?

Si cada giro de cara cuenta como un movimiento, alcanzan 20, según la prueba de cube20.org de julio de 2010. Si un medio giro cuenta como dos, el número de Dios es 26, probado en 2014 por Tomas Rokicki y Morley Davidson con unos 29 años de CPU.

¿Qué tiene que ver la teoría de grupos con el cubo?

Los giros del cubo forman un grupo, y Morwen Thistlethwaite lo aprovechó en 1981: su método pasa por una cadena de subgrupos en cuatro etapas, con índices 2.048, 1.082.565, 29.400 y 663.552. Con ese método demostró que 52 movimientos alcanzan para cualquier posición.